UNIDAD No 3

ECUACIONES

Se denomina ecuación a la igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnita, relacionadas mediante operaciones matemáticas.

TIPOS DE ECUACIONES

• ECUACIÓN DE PRIMER GRADO:  Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre variables, es decir, una ecuación que sólo involucra sumas y restas de una variable a la primera potencia. Ejemplo:

Ejemplo de ecuaciones de primer grado.

• ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

                                            

Ejercicios de ecuaciones de segundo grado.

                                                 

ECUACIÓN DE TERCER GRADO: Una ecuación algebraica de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es aquella de tres grados que se puede poner bajo la forma canónica: 

                                                         

Problemas resueltos de ecuaciones de tercer grado.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MÉTODO DE ADICCIÓN O SUSTRACCIÓN: Para resolver un sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se elimina una incógnita y se procede a resolver la ecuación resultante con respecto a la otra incógnita.

MÉTODO DE IGUALACIÓN: Este método consiste en despejar una misma incógnita de dos ecuaciones e igualarlas obteniendo una ecuación de primer grado con una incógnita.

    
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Este método consiste en despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla en la otra, obteniendo una ecuación de primer grado con una incógnita.

Por el método de sustitucion.

                  

SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Se denomina sistemas cuadráticas, los sistemas de ecuaciones que conti

enen al menos una ecuación de segundo grado y ninguna ecuación de grado superior al segundo.

Los sistemas de ecuaciones cuadráticas se los puede resolver por los mismo métodos utilizados en los sistemas de ecuaciones lineales.

EJEMPLO:

                   

INECUACIONES

Una inecuación es una expresión matemática lo cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cales quiera de ese conjunto cumpliendo estas desigualdades. A este conjunto se lo cono ce como intervalos.
La notación a∠b significa que a es menor que b y la notación a>b significa que a es mayor a b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas.

PROPIEDADES DE DESIGUALDADES

Las desigualdades se siguen por las siguientes propiedades:

• Al sumar o restar la misma cantidad a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de esta no cambia.

                                                                         a>b

                                                                a + m >  b + m

• Es decir en toda desigualdad se puede pasar términos de un miembro a otro, siempre y cuando cambie el sentido de la desigualdad.

                                                                     3x - 5 > 2

                                                                    3x > 2 + 5 

                                                                        3x>7

• Si se multiplica o se divide los dos miembros de una desigualdad por una misma cantidad positiva se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.

                                                                         a>b

                                                                       6a> 6b

• Si multiplica o se divide los dos miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa se obtiene otra desigualdad de sentido contrario.

                                                                       a>b

                                                                     -a>-b

• En toda desigualdad de términos positivos, se puede elevar ambos miembros a una potencia par, o extraer una raíz de índice par, manteniendo el sentido de la desigualdad.

                                                                     5>2

                                                                   5೩>2೩

• En toda desigualdad de términos negativos se puede elevar ambos miembros a una potencia par, cambiando el sentido de desigualdad.
• Cuando los dos miembros de una desigualdad tienen el mismo signo es posible elevar a una potencia impar o extraer la raíz de índice impar, conservando el sentido de la desigualdad.

                                                                  (-2) < (-1)

                                                                 (-2)3 < (-1)

• Cuando se desea invertir una desigualdad que sus miembros presentan el mismo signo, se debe cambiar el sentido de la desigualdad.

INECUACIONES DE PRIMER GRADO:  La solución de la inecuación se la obtiene aplicando a las propiedades y el resultado es un conjunto de números intervalos.

                   

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: Para resolver un grado mayor que dos, se debe seguir las siguientes recomendaciones:

1. Factorar el polinomio.
2. Cada valor debe ser igual a 0.
3. Despeje la variable para encontrar los puntos críticos.
4. Graficar los puntos críticos en la recta real.
5. Tabular una tabla asignándoles valores a x.
6. La solución está dada por zonas positivas si la desigualdad es mayor a 0 o por zonas negativas si es menos que 0.

                   

UNIDAD No 2

CONJUNTOS

Es la reunión  o agrupación de objetos que poseen una característica definida.

DESCRIPCIÓN DE CONJUNTOS.

• COMPRENCION: Para ser referencia a alguna característica de los elementos.

 Ax={ x/x es consonante de la palabra de respeto}

•  EXTENCION/TABULACION: Cuando se en listan todos los elementos del conjunto.

           A={ d. m, s, t}

• DIAFRAGMA DE VENN: Cuando se desea que el conjunto sea representado gráficamente.

                                         A=

Demostracion de que son conjuntos.

TIPOS DE CONJUNTOS

• CONJUNTOS RELEVANTES: Este conjunto no tiene elementos y se representa con el símbolo ∅: N(A)=0

• CONJUNTO UNITARIO: Tiene un solo elemento.                               

 N(A)=1  -  A={un balon de futbol}

• CONJUNTO FINITO: Tiene una cantidad finita de elementos.

 A={x/x los colores primarios}

• CONJUNTO INFINITO: No tiene una cantidad finita de elementos.

A={x/x la estrellas}

• CONJUNTO REFERENCIAL O UNIVERSO: Contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema. Re o U/A ={los colores del arco iris}

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNIÓN ENTRE CONJUNTOS: Es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto de A y de B.

INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS:  Es un nuevo conjunto formado por los elementos que 

pertenecen al conjunto A y al conjunto y.se representa con AUB.

            

DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS: Es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B es A-B.   

                                                         

DIFERENCIA SIMÉTRICA ENTRE CONJUNTOS: Es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y B que no son comunes.

COMPLEMENTACIÓN ENTRE CONJUNTOS: Es los elementos que pertenecen al conjunto A que pertenecen al conjunto A es decir AC.

Ejemplos de los operadores entre conjuntos

Elaborado por:

DOUGLAS WLADIMIR BANCHON ALVARADO

            

UNIDAD No 1

PROPOSICIONES

Una proposición es una unidad que puede ser verdadera o puede ser falsa.

Ejemplos :

• El 9 y el 27 son factores del 81.
• Esa caja es de madera.
• Los animales carnívoros se alimentan de plantas.
• La tierra es plana.
• El numero 1 es un numero natural.

Existen dos tipos de proposiciones las cuales son simples y compuestas:

PROPOSICIONES SIMPLES: Son aquellas oraciones que no están afectadas con los operadores lógicos.

Ejemplos:

1. Carlos Fuente es un escritor.
2. El  14 y el 7 son factores de 42.
3. El 2 o el 3 son divisores de 48.

PROPOSICIONES COMPUESTAS: Una proposición es compuesta si no es simple, es decir que se ven afectadas por los operadores lógicos.

Ejemplos:

1. El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor de 42.
2. El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.
3. Si x es un numero primo, entonces x es impar.

Ejemplos de proposiciones simples y compuestas.

OPERADORES LÓGICOS

Los operadores lógicos son aquellos símbolos que se utilizan para resolver una tabla de verdad.

• NEGACIÓN (¬): cambia el valor de una proposición, es decir si es falsa cambia a verdadera.

       Se representa como "no".

• CONJUNCIÓN (^): Es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas.

       Se representa como "y" "pero" "mas".

• DISYUNCIÓN (v): Es falso cuando ambas proposiciones son falsas.

        Se representa con "o".

• DISYUNCIÓN EXCLUSIVA (⊻) :Es verdadera cuando la primera o la segunda sea verdadera.

         Se representa como "solo".

• CONDICIONAL (→):Es falsa cuando la primera sea verdadera y la otra falsa.

         Se representa con "entonces", "solo si","cuando".

RECIPROCA: Se invierte la posición de las proposiciones.

  ( a → b ) = ( b → a )

INVERSA:Niega las dos proposiciones.

  ( a→ b ) = ( ¬a → ¬b ) 

CONTRA-RECIPROCA: Invierte la posición de las proposiciones y las niega a la ves.

  (a→b)  =  (¬b → ¬a)

• BICONDICIONAL (↔): Sera verdadera cuando ambas proposiciones sean iguales.

        Se representa con "si solo si", "si solamente si", "cuando y solo cuando".

Como se aplica todos los operadores lógicos.

TAUTOLOGIA

Todos los valores predeterminados son verdaderos.

Ejemplo:

CONTINGENCIA

Las proposiciones son verdaderas y falsas.

Ejemplo:

CONTRADICCIÓN

Todas las proposiciones son falsas.

Ejemplo:

Ejemplos de tautologia, contradiccion, contingencia.

GRACIAS POR SU ATENCIÓN.