UNIDAD No 5 Tema 4

POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS

DEFINICIÓN DE POLIEDROS.

Se llama poliedro a todo cuerpo acotado, limitado por un numero finito de superficie planas.

Se dice que las superficies planas que limitan un poliedro son polígonos.

Ademas un poliedro convexo es un poliedro P, que asu ves es un conjunto convexo; es decir se contiene dos puntos A y B, incluye al segmento que ellos determinan.

En la geometría del espacio estudia los cuerpos que tienen tres dimensiones: longitud, anchura y altura.

POLIEDROS Y SU CLASIFICACIÓN.

PRISMA

Un prisma es un poliedro formado por dos bases que son polígonos iguales y paralelos y por caras laterales que son paralelogramos.

PIRÁMIDE.

Una pirámide es un poliedro formado por una base poligonal y por caras laterales que son triángulos. El vértice donde se unen estas caras laterales se llama cúspide.

CUERPOS REDONDOS

Son cuerpos geométricos que no están delimitados por polígonos, sino por alguna superficie curva, como el cilindro, el cono y la esfera.

• CONO

La esfera es el solido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

Ejemplo del área y volumen del cono.

• CILINDRO

El cilindro es el cuerpo geométrico generado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.

Ejemplos del área y volumen del cilindro.

• ESFERA

La esfera es el solido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.

Ejemplos del área y volumen de la esfera.

UNIDAD No 5 Tema 3

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Se denomina solido de revolución o volumen de revolución, al solido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos 

El volumen de los sólidos generados por la revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas.

Rotación paralela del eje ( x ) 

El volumen de un solido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión  y=k siendo k una constante. 

SOLIDOS EN REPOSO

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Este es el método permite la obtención de volúmenes generados por el giro de un área comprendida entre dos funciones cualesquiera, f(x) y g(y), en un intervalo [a,b], con f(x) > g(x) en el intervalo [a,b]. Alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=k siendo k constante positiva.

SOLIDOS GIRATORIOS

Por medio del método de discos.

Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un solido de revolución que pueda modelarse  como la sumatorio de discos sera el área de un circulo A= π r2, y el ancho sera un. Es importante saber el eje de rotación, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la ecuación en función de la variable específicamente.

EJEMPLO.

Hallar el volumen generado al girar el área limitada por la parábola y2= 8x alrededor de la ordenada correspondiente a x = 2.

Dividiendo el área mediante franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor del eje y se procede un disco de radio 2 - x, de altura /Delta Y y de volumen  . El volumen pedido sera:

EJEMPLOS POR EL MÉTODO DE DISCOS

Por el método de arandelas.

Este método consiste en hallar el volumen de un solido generado al girar la región R que se encuentra entre dos curvas.

Este método se basa en el método anterior llamado "método de discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco mas pequeño es vació por lo tanto se le da el nombre de arandela por formar una especie de solido hueco. En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formara el solido.

EJEMPLOS POR EL MÉTODO DE ARANDELAS.

UNIDAD No. 5 Tema 2

     POLIEDROS     

Un poliedro es, en la geometría clásica al termino, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito.

Las partes fundamentales de un poliedro son :

• Caras: son los polígonos que lo delimitan.
• Aristas: lados en los que concurren dos polígonos.
• Vértices: puntos de unión de varias aristas.

TIPOS DE POLIEDROS

Los poliedros se dividen en dos tipos segun su regularidad son poliedros regulares y poliedros irregulares.

También existe según si son poliedros convexo o cóncavos.

• Poliedros convexos: Si todo par de puntos de la superficie del poliedro puede ser unido por una linea recta que no sale en ningún momento.

• Poliedros cóncavos: Si existe al menos un par de puntos de la superficie de la figura que para unirlos mediante una linea recta, necesariamente dicha recta tiene que salir del interior del poliedro.

Polígonos convexos y cóncavos.

POLIEDROS REGULARES

Un poliedro regular es aquel que sus caras son polígonos regulares y son todas iguales. Las aristas también son todas iguales.

Existe solo cinco tipos de poliedros regulares.

• Tetraedro: Poliedro regular cuya superficie esta formada por cuatro triángulos equilateros iguales.

• Cubo o hexaedro regular: Compuesto por 6 lados iguales.

• Octaedro regular: La superficie del cual esta constituida por 8 triángulos equilateros iguales.

• Dodecaedro regular: Formado por 12 pentágonos regulares iguales.

• Icosaedro regular: Las caras del cual son 20 triángulos equilateros iguales.

POLIEDROS IRREGULARES.

Los poliedros irregulares son poliedros cuyas caras son polígonos no son iguales. Principalmente se clasifican por el numero de caras que tiene su superficie: 

Tetraedro: Poliedro irregular con cuatro caras.

Pentaedro: Poliedro irregular con cinco caras.

Hexaedro: Poliedro irregular de seis caras.

Heptaedro: Poliedro irregular con siete caras.

Octaedro: Poliedro irregular con ocho caras.

Eneaedro: Poliedro irregular con nueve caras.

Decaedro: Poliedro irregular con diez caras.

• Existen dos casos muy peculiares de tetraedro irregular son el tetraedro trirrectángulo y el tetraedro isofacial:

El tetraedro trirrectángulo: Tiene tres caras que son triángulos rectángulos, de los que sus ángulos rectos concurren en un mismo vértice. Las cuatro alturas de este tetraedro irregular concurren en un punto. Es ortocentrico.

El tetraedro isofacial: Es otro tetraedro irregular cuya base es un triangulo rectángulo y sus tres caras laterales son tres triángulos isósceles iguales. Es una pirámide triangular regular.

Los mas fundamentales entre los poliedros irregulares encontramos a las que son las pirámides y a los prismas.

EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2:

EJERCICIOS:

UNIDAD No. 5 Tema 1

SISTEMA TRIDIMENSIONAL.

En física geometría y análisis matemáticos un objeto o ente es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir, cada uno de sus puntos puede ser especificando tres números dentro de un cierto rango.Por ejemplo, anchura, altura, y oportunidad.

El sistema tridimensional mas utilizado en la física (clásica) es un espacio, una dimensión para el ancho, otra para la altura y otro para la profundidad. Para representar lo basta con el gráfico de ejes cartesianos x y z. En las imágenes se puede observar el gráfico con el que se representan los sistemas tridimensionales.

Ejemplo ( 1 ) :

El cubo de la figura tiene una arista de 8 unidades y se ubica en el sistema cartesiano tal como se ilustra en la siguiente figura ¿Cuales son las coordenadas del punto P?

En la figura, se cumple que x=0; y=8 y z = 8; por lo tanto; sus coordenadas son (0,8,8).

- ¿Cual sera la medida del trazo OP? ¿Y el trazo OA?

Si observas la figura, identificaras que el trazo OP es el diagonal de una de sus caras. Como cada arista mide 8, entonces:

El trazo OA es la diagonal principal del cubo, y aplicando, a partir del calculo anterior, el Teorema de Pitagóras en el triángulo que se forma en el espacio OAP, tenemos que:

En general, podemos determinar que la diagonal principal de un cubo de lado es igual a:

Mas generalizado, podemos de terminal que la diagonal principal de un paralelo grama de largo a ancho b y altura c tiene la forma;

Ejemplo ( 2 ):

La diagonal principal de un paralelepípedo de lados 5, 10 y 12, tiene el valor de

Un ejemplo practico de sistema de coordenadas tridimensionales, se puede ver en el computador al diseñar un cubo de tres dimensiones y que este pueda moverse a traves de un programa.

lo primero que se debe hacer es ubicar las coordenadas de los puntos principales del cubo.

observa que el centro del sistema en este caso esta ubicado  en el centro del cubo donde se trazaron los ejes X, Y y Z.

Explicación adicional del sistema tridimensional y sus coordenadas.

GRACIAS POR SU ANTENCION

ATT:   DOUGLAS BANCHON ALVARADO

UNIDAD No 3

ECUACIONES

Se denomina ecuación a la igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnita, relacionadas mediante operaciones matemáticas.

TIPOS DE ECUACIONES

• ECUACIÓN DE PRIMER GRADO:  Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre variables, es decir, una ecuación que sólo involucra sumas y restas de una variable a la primera potencia. Ejemplo:

Ejemplo de ecuaciones de primer grado.

• ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

                                            

Ejercicios de ecuaciones de segundo grado.

                                                 

ECUACIÓN DE TERCER GRADO: Una ecuación algebraica de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es aquella de tres grados que se puede poner bajo la forma canónica: 

                                                         

Problemas resueltos de ecuaciones de tercer grado.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MÉTODO DE ADICCIÓN O SUSTRACCIÓN: Para resolver un sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se elimina una incógnita y se procede a resolver la ecuación resultante con respecto a la otra incógnita.

MÉTODO DE IGUALACIÓN: Este método consiste en despejar una misma incógnita de dos ecuaciones e igualarlas obteniendo una ecuación de primer grado con una incógnita.

    
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Este método consiste en despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla en la otra, obteniendo una ecuación de primer grado con una incógnita.

Por el método de sustitucion.

                  

SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Se denomina sistemas cuadráticas, los sistemas de ecuaciones que conti

enen al menos una ecuación de segundo grado y ninguna ecuación de grado superior al segundo.

Los sistemas de ecuaciones cuadráticas se los puede resolver por los mismo métodos utilizados en los sistemas de ecuaciones lineales.

EJEMPLO:

                   

INECUACIONES

Una inecuación es una expresión matemática lo cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cales quiera de ese conjunto cumpliendo estas desigualdades. A este conjunto se lo cono ce como intervalos.
La notación a∠b significa que a es menor que b y la notación a>b significa que a es mayor a b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas.

PROPIEDADES DE DESIGUALDADES

Las desigualdades se siguen por las siguientes propiedades:

• Al sumar o restar la misma cantidad a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de esta no cambia.

                                                                         a>b

                                                                a + m >  b + m

• Es decir en toda desigualdad se puede pasar términos de un miembro a otro, siempre y cuando cambie el sentido de la desigualdad.

                                                                     3x - 5 > 2

                                                                    3x > 2 + 5 

                                                                        3x>7

• Si se multiplica o se divide los dos miembros de una desigualdad por una misma cantidad positiva se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.

                                                                         a>b

                                                                       6a> 6b

• Si multiplica o se divide los dos miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa se obtiene otra desigualdad de sentido contrario.

                                                                       a>b

                                                                     -a>-b

• En toda desigualdad de términos positivos, se puede elevar ambos miembros a una potencia par, o extraer una raíz de índice par, manteniendo el sentido de la desigualdad.

                                                                     5>2

                                                                   5೩>2೩

• En toda desigualdad de términos negativos se puede elevar ambos miembros a una potencia par, cambiando el sentido de desigualdad.
• Cuando los dos miembros de una desigualdad tienen el mismo signo es posible elevar a una potencia impar o extraer la raíz de índice impar, conservando el sentido de la desigualdad.

                                                                  (-2) < (-1)

                                                                 (-2)3 < (-1)

• Cuando se desea invertir una desigualdad que sus miembros presentan el mismo signo, se debe cambiar el sentido de la desigualdad.

INECUACIONES DE PRIMER GRADO:  La solución de la inecuación se la obtiene aplicando a las propiedades y el resultado es un conjunto de números intervalos.

                   

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: Para resolver un grado mayor que dos, se debe seguir las siguientes recomendaciones:

1. Factorar el polinomio.
2. Cada valor debe ser igual a 0.
3. Despeje la variable para encontrar los puntos críticos.
4. Graficar los puntos críticos en la recta real.
5. Tabular una tabla asignándoles valores a x.
6. La solución está dada por zonas positivas si la desigualdad es mayor a 0 o por zonas negativas si es menos que 0.