UNIDAD No 5 Tema 3

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Se denomina solido de revolución o volumen de revolución, al solido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos 

El volumen de los sólidos generados por la revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas.

Rotación paralela del eje ( x ) 

El volumen de un solido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión  y=k siendo k una constante. 

SOLIDOS EN REPOSO

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Este es el método permite la obtención de volúmenes generados por el giro de un área comprendida entre dos funciones cualesquiera, f(x) y g(y), en un intervalo [a,b], con f(x) > g(x) en el intervalo [a,b]. Alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=k siendo k constante positiva.

SOLIDOS GIRATORIOS

Por medio del método de discos.

Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un solido de revolución que pueda modelarse  como la sumatorio de discos sera el área de un circulo A= π r2, y el ancho sera un. Es importante saber el eje de rotación, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la ecuación en función de la variable específicamente.

EJEMPLO.

Hallar el volumen generado al girar el área limitada por la parábola y2= 8x alrededor de la ordenada correspondiente a x = 2.

Dividiendo el área mediante franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor del eje y se procede un disco de radio 2 - x, de altura /Delta Y y de volumen  . El volumen pedido sera:

EJEMPLOS POR EL MÉTODO DE DISCOS

Por el método de arandelas.

Este método consiste en hallar el volumen de un solido generado al girar la región R que se encuentra entre dos curvas.

Este método se basa en el método anterior llamado "método de discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco mas pequeño es vació por lo tanto se le da el nombre de arandela por formar una especie de solido hueco. En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formara el solido.

EJEMPLOS POR EL MÉTODO DE ARANDELAS.